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3月14日今日は何の日?:円周率の日

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日付は円周率(π)の近似値3.14から。

3月14日は、多くの国で「3-14」の順に(特にドイツなどでは「3.14」と)表記され、円周率の小数表記「3.141592653589793238462643383…」の上3桁に一致する。通常はこの日の1時59分か15時9分にこの日を祝う。この2つの時刻は数字で表記するとそれぞれ「1:59」と「15:9」であり、日付の「314」と併せて円周率の最初の6桁を表している。

この日の祝い方には様々な方法がある。ある団体は、世の中における円周率の役割を考え円周率が存在しない世界について考える。また、パイを食べる・映画「π」を見るなど「パイ」に関する行為で祝う人たちもいる。一部の学校の数学科ではこの日にパーティーが催されることもある。

この日はドイツ生まれの理論物理学者アルベルト・アインシュタイン( Albert Einstein、1879~1955年)の誕生日であり、日本では1997年(平成9年)に公益財団法人・日本数学検定協会により「数学の日」に制定されている。「数学の日」は、数学を生涯学習として、子どもから大人まで楽しめるものに発展させようと制定された記念日である。

また、2009年(平成21年)にはアメリカ合衆国下院で2009年3月14日を「全米円周率の日」(National Pi Day)とする決議案が可決された。この決議案では、学校でこの日を利用して生徒に円周率について教え、「数学を学ぶ魅力を伝える」よう呼びかけている。

3月14日のほか、アルキメデスが求めた近似値22/7から7月22日、中国で求められた近似値355/113から元日から355日目の12月21日の1時13分、元日から314日目の11月10日、地球が軌道上で新年から軌道の直径分進む日である4月26日なども「円周率の日」または「円周率近似値の日」と呼ばれる。

 

円周率について

円周率を使う公式には、「円の面積=半径×半径×円周率」や「円周の長さ=直径×円周率」などがある。この円周率は、小学校の時には「3.14」(場合によっては「3」を使用する)と習うが、中学校では「π」(パイ)という形に変身する。

円周率は、元々円周と直径の比(円周÷直径)で定義され、どの円でも一定の値を取るものだが、この計算(円周÷直径)は割り切れない。そのため、近似値や特定の文字に置き換えることで表現されている。

表記と呼び方

円周率を表すギリシア文字 π は、ギリシア語 περίμετρος(ペリメトロス)あるいは περιφέρεια(ペリペレイア)の頭文字から取られた。いずれも周辺・円周・周などを意味する。文字 π をウィリアム・オートレッドは1631年に著した著書において半円の円弧部分の長さを表す文字として用い、アイザック・バローは論文において半径 R の円周の長さとして用いた。ウィリアム・ジョーンズ (1706) やレオンハルト・オイラーらにより(現代と同じく)円周の直径に対する比率を表す記号として用いられ、それが広まった。日本では「パイ」と発音する。

数 π を指す言葉には、日本・中国・韓国における「円周率(圓周率)」、ドイツの「Kreiszahl」(Kreis は円(周)、Zahl は数の意)の他、それを計算した人物の名前を取った「アルキメデス数」(英: Archimedes’ constant)、「ルドルフ数」(英: Ludolph’s constant、独: Ludolphsche Zahl)などがある。一般にドイツ語を除いたヨーロッパの諸言語には「円周率」に対応する単語はない。

なお、「π」の字体は、表示環境によってはキリル文字の п に近い π などと表示されることがある。

また、文字「π」は、数学では他に素数計数関数や基本群・ホモトピー群にも用いられる。またある種の写像を表すときにも慣習的に用いられる。

定義

平面幾何学において、円周率 π は、円の周長の直径に対する比率として定義される。すなわち、円の周長を C, 直径を d としたとき、π = Cd

である。全ての円は互いに相似なので、この比率は円の大きさに依らず一定である。

ところが、この定義は円の周長を用いているため、曲線の長さを最初に定義していない解析学などの分野では、π が現れる際に問題となることがある。この場合、円の周長に言及せず、解析学などにおける性質の一つを π の定義とすることが多い。この際の π の定義の一般なものとして、三角関数 cos x が 0 を取るような x > 0 の最小値の2倍とするもの、級数による定義、定積分による定義などがある。

 

和算における円周率の取り扱い

江戸時代の初期の和算家の3.16

江戸時代初期の数学書である毛利重忠の『割算書』では円周率を3.16としている。その弟子の吉田光由の『塵劫記』でも3.16となっている。しかし、当時の先進国中国では3.16が見られないので、中国の数値を引き写したとは考えにくいという。そこで、なぜ初期の和算家が円周率を3.16としたかの理由はよく分かっていない。おそらく、毛利重忠とその弟子の吉田光由などの先駆者らは、円周率を実際に測定して3.14ないし3.16ほどの値を得たが、その値の最後の数字に確信が持てなかったため、「円のような美しい形を求める数値は、もっと美しい数値になっていいはずだ」と考え、「美しい理論」を求めた。その結果 √10 = 3.16 が美しい数値として採用されたと推測されている。その考えは日本で2番目に3.14の値を計算で求めた野沢定長の『算九回』(延宝五年:1677年)の中にも見られ、その著書の中で「忽然として円算の妙を悟った」として「円周率の値は形=経験によって求めれば3.14であるが、理=思弁によって求めれば3.16である」として「両方とも捨てるべきでない」とした。

和算家が計算した3.14

江戸初期、1600年代前半頃から、円を対象とした和算的研究である「円理」が始まる。その最初のテーマの一つが円周率を数学的に計算する努力であり、1663年に日本で初めて村松茂清が『算爼(さんそ)』において「円の内接多角形の周の長さを計算する方法」で3.14…という値を算出した。『算爼』では円に内接する正8角形から角数を順次2倍していき、内接215 = 32768角形の周の長さで、3.1415 9264 8777 6988 6924 8

と小数点以下21桁まで算出している。 これは現代の値と小数第7位まで同じである。その後1680年代に入ると、円周率の値を3.16とする数学書はなくなり、3.14に統一された。1681年頃には関孝和が内接217角形の計算を工夫し、小数第16位まで現代の値と同じ数値を算出した。この計算値は関の死後1712年に刊行された『括要算法』に記されている。

日本の和算家に特徴的なのは、1663年に3.14が初めて導き出されても、その後1673年までの10年間に円周率の値を3.14とした算数書のいずれもが、先行者の円周率をそのまま引き継ぐことをせず、それぞれ独自の値を提出していたことである。この背景には当時の遺題継承運動に「他人の算法をうけつぐ」と共に「自己の算法を誇る」という性格があったためだという。そのため古い3.16の値が疑われてから、遺題継承の際に必ずといってよいほど円周率の値が変えられている。しかしながら江戸時代の3大和算書『塵劫記』『改算記』『算法闕疑抄』の増補改訂版では1680年代には3.14に統一された。

3.14から3.16への逆行

しかし、遺題継承運動は1641年に始まって1699年頃には終わってしまい、いったん3.14に統一された円周率の値は江戸時代後半になると揺らぎ始め、古い3.16に逆行するという現象が生じた。文政年間(1818~30年)に出版された算数書とソロバン書を悉皆調査した結果では、円周率の値を3.14とするものと、3.16とするものの2系統があることが明らかにされた。いくらか専門的な数学書では3.14とされているのに、大衆向けの小冊子の中では3.16の方が普通に用いられていた。

当時の識者である橘南谿(1754-1806年)は「いまに至り3.16あるいは3.14色々に論ずれども、なおきわめがたきところあり」と述べ、3.14はまだ確定していないとしている。儒学者の荻生徂徠も和算家の算出した3.14の根拠に納得しなかった。当時の和算家のほとんどは、円に内接する多角形の周を計算することで円周率を計算した。内接多角形の角数を増やすほど求まる円周率の桁は増えていくので、素人目にはその値が増大する一方に見える。「それがいくら増えても3.1416を超えない」ということを和算家たちはついに納得させることができなかったのである。

そのような和算家以外の素人たちを納得させるには、どうしても万人に納得させる「理」に基づいて計算してみせる他はない。それを行うには西洋で行われたように、「円を内接多角形と外接多角形ではさんで、円周率の上限と下限を示すこと」が必要であったが、(次の鎌田による成果を例外として)和算家はついにその方法を取ることがなかった。

 

 

【アニメで数学!】めちゃくちゃわかりやすい円周率のお話【面積の求め方】

 

 

 

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